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Rappels d'astronomie


L'objectif de cette page est de rappeler quelques notions d'astronomie qui permettront de mieux faire comprendre le fonctionnement des cadrans solaires.


 
Les cadrans solaires les plus anciens
cadran solaire retrouvé sur le site de Knowth en IrlandeUn des cadrans solaires les plus anciens retrouvés à ce jour vient d'Egypte. On estime son age à environ 3500 ans. Un autre, gravé sur pierre, a été retrouvé en Irlande sur le site de Knowth '(Great Mound), il aurait été construit il y a 5300 ans.
Stonehenge(Wiltshire Angleterre) (2800 av. JC)
C'est peut-être le premier « observatoire » ou le premier calendrier astral, qui permet de prédire certains phénomènes astronomiques. C'est une gigantesque construction de pierre du néolithique qui témoigne que les connaissances des phénomènes astronomiques étaient déjà très développés.
Thalès (-624, -548 av. JC)
Astronome, commerçant, ingénieur, philosophe grec qui naquit à Millet situé sur les bords de la Méditerranée en Turquie actuelle.Thalès est un des premiers mathématiciens dont on connaît le nom. C’est lui qui fit connaître en Grèce la géométrie déductive qu’il découvrit lors de ses voyages en Egypte et en Mésopotamie. Il est connu aujourd’hui pour le théorème qui porte son nom. Il aurait calculé la hauteur de certaines pyramides Egyptiennes en comparant la longueur de leurs ombres à celles d’un gnomon. Astronome il aurait écrit 2 livres sur les équinoxes et les solstices.

Pour Thalès la terre est plate.
Anaximandre(-611 ; -547 av. J.C.)
Philosophe, mathématicien et astronome grec.C’est un disciple de Thalès né lui aussi à Milet dans  la Turquie actuelle. Il aurait introduit en Grèce le cadran solaire. Anaximandre comprend que l’ombre du gnomon peut permettre d’étudier certains phénomènes célestes. C’est peut-être par ce moyen qu’il découvre l’obliquité de l’écliptique comme le rapporte Pline.
En 1817 l’astronome Delambre a en effet montré que, dans l’antiquité, l’obliquité n’a pu être mesurée qu’avec un gnomon.
L’obliquité est l’inclinaison du plan de l’équateur sur le plan de l’écliptique (plan contenant la trajectoire de la terre autour du soleil).
En l’an 2000, cette inclinaison vaut : 23°26’21’’ 
Pythagore(#- 570 – 500 av. JC sur l’île de samos)
Considéré de nos jours comme le premier scientifique ou peut-être le premier « prototype » de scientifique, il pense que les phénomènes physiques peuvent se comprendre par les nombres. Le but des pythagoriciens est alors de découvrir les lois cachées derrières les nombres. Une de leur plus grande découverte est celle des nombres irrationnels. Avant eux les Grecs ne connaissaient que les nombres entiers et les nombres dit rationnels, c’est à dire qui peuvent se mettre sous la forme d’une fraction de type a / b ou a et b sont des nombres entiers (1, 2, 3…). Les pythagoriciens montreront que la longueur de l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle de coté 1 ne peut pas se mettre sous la forme a/b, c’est un irrationnel. Pythagore fonda la Fraternité et fut à l’origine du mot « philosophe ». Voici ce qu’il répondit à  Léon, prince de Phlius, lorsque celui-ci lui demanda, lors d’un rassemblement pour les jeux olympiques, comment il ce définissait :

La vie, prince Léon, peut être comparée à ces jeux publics, car dans le vaste public assemblé ici se trouvent des gens qui sont attirés par le gain, d'autres par les espoirs de la renommée et de la gloire. Mais il y en a aussi qui sont venus pour observer et comprendre tout ce qui se passe ici. Il en va de même avec la vie. Certains sont menés par l'amour et la richesse, d'autres guidés aveuglement par la soif insensée de puissance et de domination, mais l'homme le plus noble se consacre à la découverte du sens et du but de la vie. Il cherche à découvrir les secrets de la nature. C'est celui que j'appelle un philosophe car, bien qu’aucun homme ne soit sage à tous égards, il peut aimer la sagesse comme clef des secrets de la nature.

théorème de Pythagore - Babylone Pythagore est connu aujourd’hui par le théorème qui porte son nom. Il n'en n'est pourtant pas à l’origine comme le prouve une tablette de terre cuite écrite en cunéiforme et concervée à l’université de Yale aux Etats Unis (voir ci-contre). C'est une gravure sur terre cuite d’environ 8 cm de diamètre et qui est datée de 1800 ans av. JC. Les indications qu’elle porte montrent qu’à cette époque, les Babyloniens connaissaient déjà la valeur de la diagonale du carré.

Les membres de la Fraternité furent, par contre les premiers à démontrer le théorème comme ils furent les premiers à montrer que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

Il existe de très nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore. Ce théorème est extrêmement utile en géométrie et on l’utilisera pour établir les équations du tracé des cadrans. Ci dessous  2 méthodes qui permettent d’établir ce théorème :
Une Méthode simple
theoreme de Pythagore
Une méthode plus visuelle
theoreme de Pythagore

Existence des nombres irrationnels, démonstration par l’absurde :

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels : ce sont des nombres irrationnels. Partons du théorème de Pythagore en considérant un triangle isocèle dont les 2 cotés perpendiculaires valent 1 et calculons la longueur de l’hypoténuse :
Si L est rationnel il peut se mettre sous la forme « a / b » avec « a » et « b » entier : L = a / b
On peut noter que « a » et « b » ne peuvent pas être tous les 2 pairs car dans ce cas on simplifierait le rapport par 2.
L=a / b => L² = (a / b)² = 2 => (a)² = 2(b)²                                                (3)
Donc « a² » est pair, ce qui revient à dire que « a » qui est entier est pair (voir (4) ci-dessous)
Donc si b est impair a est pair.
Or si « a » est pair, on peut écrire : a = 2c
On peut alors écrire l’équation (3) de la manière suivante
(2c)²=2b² => 4c² = 2b² => b²= 2c² donc b² est pair

b est alors à la fois pair et impair ce qui est absurde. Donc L ne peut pas se mettre sous la forme a/b, ce n'est donc pas un rationnel. Il existe donc des nombres qui ne sont pas rationnels: ce sont les nombres irrationnels
             Si b est impair :  b=(2p+1) =>b² = (2p+1)² = (4p²+1+4p) = (4p(p+1)+1) => b² impair
   (4)    Si b est pair : b = 2p => b² = 4p² => b² est pair.
             Donc si b² est pair b doit être pair.
Philolaos (V ème siècle av. JC) H
Propose que la terre tourne en un jour autour d’un axe et explique ainsi le mouvement diurne : la succession des jours et des nuits.
Hérodote (V ème siècle avant JC)H
D’après l’historien Hérodote les Grecs héritèrent la science des cadrans solaires, la division du jour en 12 parties et la longueur de l’année de 360 j des Babyloniens.
Euctémon (V ème siècle av. JC)H
Euctémon durée des saisons L’astronome Euctémon découvre la durée inégale des 4 saisons.
Héraclide du Pont (IV siècle av JC meurt en –310)H
systhème d`Héraclite Du Pont Admis la rotation de la terre autour de son axe et propose une première étape vers le système héliocentrique : la terre reste le centre de l’univers mais Mercure et Vénus, qui sont les planètes les plus proches du soleil, tournent autour du soleil qui tourne lui-même autour de la terre, les 5 autres planètes tournant toujours autour de la terre. Il explique ainsi pourquoi Mercure et Vénus ne sont visibles que le matin avant le levé du soleil ou le soir après son couché et aussi pourquoi l’éclat de ces 2 astres varie.
Pythéas (IV ème siècle av. JC)H
Il est probablement le premier à avoir mesuré l’obliquité (23°46’ à son époque) avec un gnomon. Il utilisera aussi le gnomon pour calculer les latitudes lors de ses différents voyages vers le pôle Nord.
Bérose( III ème siècle av. JC)H
On attribut au prêtre égyptien Bérose l’invention des cadrans solaires hémisphériques. Ces cadrans solaires sont souvent réduits à un quart de sphère appelé « hemicyclium »
Eratosthène  (276-195 av. J.-C.) H
diamètre de la terre Eratosthène Eratosthène naquit à Cyrène dans la Lybie actuelle. Géographe et mathématicien Eratosthène émet les hypothèses suivantes : la terre est sphérique, ce que les Grecs savent depuis Pythagore, le soleil est très éloigné de la terre donc la lumière solaire est un faisceau de rayons parallèles . De l’expérience suivante et des hypothèses précédentes il déduira le diamètre terrestre avec une grande précision par la mesure d’ombres à un moment donné en des lieux différents. On peut noter qu’en prenant l’hypothèse d’une terre plate il aurait déduit, de la même expérience, la distance terre - soleil.
Aristarque de Samos ( vécut entre 310  et 230 avant JC)H
système Aristarque de Samos Il suggère l’héliocentrisme pour expliquer la course des planètes. Ses écrits seront redécouverts par Copernic qui placera lui aussi le soleil au centre de notre système solaire.
Apollonius de Perge (né entre 246 et 221av JC) H
Cône et coniques Il démontre que les ellipses,les hyperboles, les paraboles (les coniques) sont des coupes d’un cône par des plans. La forme de la courbe dépend de l’inclinaison du plan de coupe sur la directrice. Il crée aussi les épicycles qui seront utilisées par Ptolémée au IIème siècle de notre ère pour calculer la position des planètes.
Il est curieux de constater que ce sont le travaux d’Apollonius sur les épicycles qui serviront à bâtir l’astronomie de Ptolémé et que ses travaux sur les coniques serviront ensuite la nouvelle astronomie de Kepler.
Platon (427 - 348 ou 347 avant JC) H
Platon fut l’élève de Socrate. La forme du monde doit être une sphère parfaite, et tout mouvement doit s’effectuer en cercle parfaits à une vitesse uniforme » (Arthur Koesler – Les somnambules p. 58). Pendant 2000 ans, c'est à dire jusqu’à Kepler, les mathématiciens vont essayer de prévoir les phénomènes astronomiques par des théories mettant en oeuvre des mouvements circulaires en s’appuyant notamment sur les épicycles d’Apollonius de Perge.
Aristote(384 - 322 avant JC) H
Aristote fut l’élève de Platon, il le suivra dans le domaine de l’astronomie. La forme parfaite est le cercle et il déduit que le mouvement parfait est le mouvement circulaire. Devant l’évidence du manque de perfection sur terre il fait l’hypothèse que le monde est divisé en 2 parties. Une zone sublunaire dite corrompue et une zone au-delà de la lune ou règne la perfection. Les planètes sont par conséquence des sphères parfaites et elles sont soumises à un mouvement parfaitement circulaire.
Hipparque(II siècle av. JC vers 125 av.JC) H
Considéré comme le meilleur observateur avant Tycho Brahé on lui doit de nombreuses coordonnées d’étoiles. On lui attribue l’invention de l’astrolabe qui est un instrument permettant de calculer la position de certaines étoiles quelle que soit leur latitude et quel que soit le moment de l’année.
Hipparque est le premier astronome à parler de la précession des équinoxes. Une manière de comprendre ce qu’est la précession des équinoxes est de se représenter la droite (D) d’intersection de l’équateur avec le plan de l’écliptique (plan contenant la trajectoire de la terre autour du soleil). Si on néglige la précession des équinoxes, durant la révolution de la terre autour du soleil cette droite se déplace parallèlement à elle même car l’axe de rotation de la terre ne change pas de direction. Lorsqu’elle passe par le centre du soleil alors la terre est à l’équinoxe de mars ou de septembre. A ce moment la durée des jours est égale à la durée des nuits.Soumis à l’attraction solaire et lunaire l’axe de rotation, qui est perpendiculaire à l‘équateur, décrit un cône en 26000 ans. Compte tenu de son sens de rotation, la droite (D) passe donc tous les ans un peu plus tôt par le centre du soleil : c’est la précession des équinoxes.
En fait les choses sont encore un peu plus compliquées du fait que, comme l’a montré Euler au XVIII éme siècle, les grosses planètes, du système solaire comme Jupiter et Saturne perturbent la rotation de l’axe terrestre en 26 000 ans. L’obliquité n’est donc pas constante et varie en environ 40 000 ans de 22° à 24,5° elle est aujourd’hui de 23°26’. Ceci a permis de confirmer que la valeur de l’obliquité donnée par Pythéas au IV ème siècle av.JC : 23°46’ était correcte.
La précession des équinoxes est de 50 ,37’’ (précession en longitude) par an.

Dès le deuxième siècle avant J-C, Hiparque déterminera la durée d'une lunaison avec une précision remarquable : moins d'une seconde d'erreur, 29 jours, 12 heures, 44 minutes et 3 secondes.
Ptolémée (II ème siècle après JC ) H
Il mentionne pour la première fois l’équation du temps (l'équation du centre) et utilise les épicycles pour calculer les positions des planètes. Il écrivit un livre sur l’application des mathématiques pour le tracé des cadrans solaire (Colin Ronan -Histoire Mondiale des Sciences p. 174)
Copernic (1473-1543) H
Au XVI éme siècle les dérives du calendrier sont telles qu’une réforme devient nécessaire. Le Pape Léon X, au concile de Latran en 1534 propose une consultation des autorités compétentes.  Nicolas Copernic, astronome polonais, proposera en 1543 un calcul de précision pour la durée de l’année. Ce calcul sera basé sur une nouvelle théorie. (le calendrier maître du temps : Jacqueline De Bourgoing). Copernic redécouvre l’héliocentrisme (le soleil est placé au centre du « système solaire ») qui permet de simplifier considérablement la compréhension du système solaire. Il place donc le soleil au centre de son système mais conserve des orbites circulaires et par conséquent les épicycles.
Tycho Brahe(1546-1601) H
Contemporain de Kepler. Tycho Brahé est connu pour celui qui a apporter une très grande précision de mesure dans la position des astres. il fait des mesures extrêmement précises de la position des planètes et des étoiles. Il aménage sur l’île de Hven, en face de Copenhague au Danemark, un observatoire dont la précision et la quantité d’observations ont marqué une rupture par rapport à ce qui avait été fait jusqu’alors. En 1600, alors qu’il était mathématicien impérial, auprès de Rodolphe II à Prague il fera venir à lui Johannes Kepler, qui à partir de ses observations, notamment celles de Mars, révolutionnera l’astronomie. Tycho Brahe n’était pas Copernicien, sur les bases de ses observations il proposa le système ci-dessous qui disparaîtra avec lui. Il avait l’avantage de conserver la terre au centre du monde.
Kepler(1571 – 1630) H
Au XVIIème siècle à partir des mesures réalisées par Tycho Brahe il trouve les trois lois qui caractérisent une orbite planétaire et qui portent aujourd’hui son nom : une planète décrit une orbite elliptique dont le soleil occupe un foyer. Cette loi nous parait aujourd’hui la plus banale mais à l’époque de Kepler c’est probablement celle qui était le plus difficile à admettre. Il faut en effet comprendre que depuis 2000 ans tous les astronomes, y compris Copernic, tentaient d’expliquer le mouvement complexe des planètes par des mouvements circulaires. C’est un travail de plusieurs années sur l’orbite de Mars, à partir des relevés faits par Ticho Brahé que Kepler découvrira les 3 lois qui portent aujourd’hui son nom. On sait aujourd’hui que l’exentricité de Mars est la plus importante des excentricités des planètes connues à l’époque de Kepler. C’est pour cette raison que son mouvement apparent sur la sphère des fixes était si difficile à expliquer par les épicycles. Et c’est justement cette difficulté qui a conduit Kepler à étudier en détail cette orbite à partir des relevés d’observations de Tycho Brahe. Il avait à sa disposition les relevés les plus précis jamais réalisés. Kepler avait une très grande confiance dans les mesures et c’est une erreur de 8&rsquo entre la théorie et les relevés qui l'a conduit à proposer une théorie qui va révolutionner l'astronomie.
la loi des aires (le rayon qui joint le soleil à la terre balaie des surfaces égales en des temps égaux), C’est le propre des trajectoires d’objets soumis à une force centrale (force constamment dirigé vers un point)
Une relation entre la dimension de l’orbite et la période de révolution [(T/T’)²= (a/a’)3] : C’est une équation qui relie les périodes de révolution des planètes à la longueur de leur grand axe.
Ces lois du mouvement planétaire permettent de comprendre l’équation du centre qui est un des 2 membres de l’équation du temps qu’il faut prendre en compte pour lire l’heure civil sur les cadrans solaires.
Newton (1643-1727)H
Au XVIIème siècle Newton fera la synthèse des découvertes de Copernic, Kepler et Galilée et démontre les lois de Kepler en introduisant la loi de gravitation universelle: tout se passe comme si les masses s’attiraient avec une force F avec F=GmM/r² ou G est une constante dite constante de la gravitation universelle.
Oughtred William ( 1574 - 1660 )
Mathématicien anglais. Il a inventé un cadran solaire horizontal qui porte son nom.